Румынский метод инвестирования

Есть известная мудрость: если кто-то выигрывает в лотерею, то ему вряд ли придет в голову, что это потому, что он обладает навыком выбирать счастливые билеты. Напротив, тот, кто не глядя купил акции, которые потом выросли, как правило, считает, что это прямое следствие его ума и проницательности (а вовсе не удачи). Тем не менее, сегодня я хочу представить вам человека, который вас удивит. Знакомьтесь, Стефан Мандель, математик румынского происхождения. Выиграл в лотерею 14 раз.

Разумеется, вероятность выиграть в лотерею несколько раз только за счёт удачи не равна нулю. Так, например, Джоан Гинтер из штата Техас выигрывала в лотерею значительные суммы 4 раза. Под значительными суммами я понимаю: 5,4 миллиона + 2 миллиона + 3 миллиона + 10 миллионов. Итого в сумме 20,4 миллиона долларов!

Шансы на такое везение равны 1 к 18 септиллионам, а септиллион — это единица с 24 нулями. Однако это реально произошло! Тут вспоминается шуточный «закон действительно больших чисел», который гласит: если что-то в принципе может произойти, то это рано или поздно произойдет.

Есть некоторые персонажи, которые выигрывали в лотерею и большее число раз, однако речь идет о многократно меньших суммах (и, соответственно, о гораздо более высоких шансах на победу). Собственно, все знают, что бывают и вообще беспроигрышные лотереи, так что эти истории я исключаю из рассмотрения.

Но вернемся к Стефану Манделю. Нет, это не история самого везучего человека на земле. Это история человека, который сумел найти неэффективность даже в лотерее, которая умышленно спроектирована так, чтобы быть эффективной.

Как ему это удалось?

Не буду долго ходить вокруг да около и изложу ключевую идею, простую и гениальную. После ее изложения у вас наверняка возникнет мысль: это же очевидно! Почему никто раньше до этого не додумался?

Итак, принцип работы любой лотереи прост, как валенок: организатор собирает с игроков деньги за билеты, далее часть этих денег раздается в виде призов, а часть остается в виде дохода организатора. Примерно также работают казино, ипподромы и рынки деривативов.

Представим, что выпущено 100 билетов по 1 доллару каждый. В таком случае организатор имеет возможность забрать себе, скажем, 25 долларов, а оставшиеся 75 долларов выплатить одному победителю. То есть получается, что на каждый билет есть вероятность 1% выиграть 75 долларов и вероятность 99% проиграть 1 доллар.

Если сыграть в такую лотерею один раз, то все эти вероятности ничего не значат. Можно как выиграть, так и проиграть. Исход одной игры неопределен и непредсказуем. Однако если играть много раз, то есть повторять игру снова и снова, то вероятность начнет брать свое. Частые проигрыши и редкие выигрыши начнут усредняться друг с другом, и результат начнет всё больше приближаться к средней потере 25 центов на каждой игре.

Кстати, похожая история часто наблюдается на фондовом рынке — отдельно взятая рисковая инвестиция вполне может «выстрелить» и принести большую прибыль. Однако если мы говорим о результатах инвестирования за длительный срок, то эффект от удачи (или наоборот невезения) начинает размываться и средний результат уже может оказаться мало похож на лучший.

Но вернемся к лотереям. Для того, чтобы система Манделя работала, лотерея должна обладать двумя свойствами:

• Победитель должен определяться розыгрышем, как например в советском Спортлото.
• В случае, если в розыгрыше никто не победил, призовой фонд должен переноситься дальше.

Посмотрим еще раз на предыдущий пример. Пусть у нас опять 100 билетов и один победитель получает призовой фонд в 75 долларов. Однако теперь допустим, что процедура устроена так, что вероятность получить приз равна 1% (как и раньше), но теперь это не счастливый билет, а розыгрыш. Главное отличие в том, что при новых правилах теперь есть вероятность, что не выиграет никто. Конкретно в нашем примере это 0,99 в степени 100, то есть примерно 36%. Весьма заметная вероятность.

А теперь сделаем самый главный последний шаг — предположим, что в случае отсутствия победителя призовой фонд переходит на следующий розыгрыш. Тогда призовой фонд становиться не 75 долларов, а 150. Шанс выиграть при этом по-прежнему остается 1 из 100, а это значит, что справедливая цена лотерейного билета уже не 75 центов, а 1,5 доллара. Но билет-то по-прежнему стоит 1 доллар!

Это означает, что теперь вероятностное преимущество уже на стороне игрока. То есть такая игра при многократном повторении будет приводить не к среднему убытку в 25 центов, а к средней при были в 50 центов на игру.

В воображаемом примере выше мы приняли как заданное, что вероятность выигрыша каждого отдельного билета равна 1%, не вдаваясь в детали, откуда взялась эта цифра. На практике же обычно это получается так: игрок покупает билет и заполняет какую-то комбинацию цифр. Далее, во время розыгрыша случайным образом определяется выигрышная комбинация и все, кто ее угадал, — победили.

В таком варианте не важно, сколько в лотерее билетов, — важно, сколько можно выбрать комбинаций цифр. Так, например, для советского Спортлото 6 из 45 было возможно примерно 8,2 миллиона комбинаций. Это означает, что вероятность выиграть с одним билетом равна 1 из 8,2 миллиона. Количество участвующих игроков или общий тираж билетов при этом не важен.

Очевидное следствие этого принципа в том, что если купить количество билетов, равное количеству комбинаций и все их заполнить по-разному, то выигрыш гарантирован — хоть один из билетов точно выиграет. Выкупать весь тираж при этом не нужно.

Небольшая прогулка в теоретических дебрях

Возможно, у вас возникло ощущение, что происходит что-то странное. Действительно, мы рассмотрели в примере 2 лотереи. Вероятность выиграть с одним билетом в первой лотерее равна 1%, потому что есть 1 выигрышный билет, а всего билетов 100. Вероятность выиграть с одним билетом во второй тоже 1%, потому, что это исходное предположение. Однако почему-то результаты радикально отличаются, а именно: в первой лотерее обязательно кто-то выиграет, а во второй есть вероятность аж 36%, что не выиграет никто. В чём разница?

Дело в том, что вероятности в обоих случаях 1%, но это не одно и то же. Отличие в том, что во второй лотерее мы предположили, что выигрыш каждого билета — это независимое случайное событие. А в первом случае это не так, они зависимы.

Поясню на простом примере. Представьте, что в первой лотерее (в той, в которой есть счастливый билет) мы вскрыли 99 билетов и они все пустые. Какова вероятность того, что последний оставшийся билет выигрывает? Ответ: она равна 100%, потому, что мы точно знаем, что выигрышный билет есть и он только один.

Теперь представьте вторую лотерею. Допустим, мы тоже вскрыли 99 билетов. Что мы можем сказать про последний билет? Ответ: ничего. Мы знаем только то, что есть вероятность 1%, что он выигрышный, и 99%, что нет.

Кстати замечу, что во второй лотерее помимо вероятности, что не выиграет никто, появляется также вероятность, что выиграет более чем 1 игрок. Есть даже вероятность, что выиграют все 100 билетов, она равна 0,01 в степени 100... в общем, очень маленькому числу. Такая ситуация возникнет, если, например, все игроки выберут в билетах одну и ту же комбинацию и эта комбинация окажется выигрышной.

Чтобы верно учесть ожидаемый выигрыш, надо знать, как организатор лотереи будет поступать в таком случае. Обычно в лотереях призовой фонд делится между несколькими победителями. Однако, например, в казино оба победителя получают полный приз. Казино при этом берет деньги из своих резервов в расчете, что рано или поздно они вернуться из карманов других игроков (а может и тех же самых).

Для упрощения я не буду углубляться в расчеты с учетом вероятности выигрыша нескольких победителей, поскольку это заметно сложнее, а принципиальная картина не меняется.

Лотерея штата Вирджиния

Самой крупной победой Манделя стал джекпот лотереи штата Вирджиния в 1992 году (к тому моменту он уже давно перебрался из Румынии в Австралию).

По условиям лотереи надо было выбрать 6 чисел от 1 до 44, что дает примерно 7,1 миллиона возможных комбинаций. Каждый билет стоил 1 доллар, однако джекпот в тот год достиг уровня в 27 миллионов долларов.

То есть, проще говоря, если купить билетов на 7,1 миллиона долларов и заполнить их, используя все возможные комбинации цифр, то можно было гарантированно получить 27 миллионов. Ожидаемая доходность инвестиций +280%. Не считая затрат на всю операцию, конечно...

Мандель собрал, по сути, хедж-фонд, в который привлек более 2500 инвесторов. Его задача была выкупить 7,1 миллиона билетов и указать на них все возможные комбинации. Тогда выигрыш будет гарантирован. Да, была вероятность, что выигрышную комбинацию угадает кто-то еще, но даже с учетом этого риска доходность была более чем привлекательной (не хочу утомлять вас точными расчетами).

За трое суток до завершения лотереи схема была запущена в работу. Выкупщики билетов начали приобретать билеты в 125 торговых точках, с которыми уже была предварительная договоренность. Сотрудники этих магазинов работали в 3 смены, чтобы продать требуемое количество билетов (в одном из магазинов за двое суток было продано 75 тыс. билетов). По правилам лотереи все билеты должны были быть заполнены от руки, так что заполнение тоже велось круглосуточно.

И всё равно команде Манделя не хватило времени, они выкупили и заполнили около 5 миллионов билетов (из, напомню, 7,1 миллиона необходимых). Такая ситуация делала победу вероятной (шансы более 70%), но не гарантированной. В случае, если бы выпавший номер не совпал ни с одним из 5 миллионов заполненных, инвесторы потеряли бы вложенные деньги.

Однако удача была на стороне Манделя, и консорциум под его руководством победил.

Когда чиновникам от государственной лотереи стало известно, что выиграл хедж-фонд, они стали уклоняться от выплаты призовых денег. Последовал месяц пререканий между юристами той и другой сторон, пока чиновники не признали: у них нет законных причин для отказа в выплате. В конце концов довольные инвесторы получили свою прибыль.